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数学归纳法

https://zhuanlan.zhihu.com/p/414717425

例题1设f(n)=1+12+13+⋯+1n(n∈N+).求证:f(1)+f(2)+⋯+f(n−1)=n[f(n)−1](n≥2,n∈N+).证明:(1)当n=2时，左边=f(1)=1,右边=2[f(2)−1]=2[1+12−1]=1,左边=右边，等式成立.(2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时，等式成立，即f(1)+f(2)+⋯+f(k−1)=k[f(k)−1]即kf(k)−k.则当n=k+1时，f(1)+f(2)+⋯+f(k−1)+f(k)=k[f(k)−1]+f(k)=(k+1)f(k)−k(k+1)f(k)−k=(k+1)[f(k+1)−1k+1]−k=(k+1)f(k+1)−(k+1)∴当n=k=1时结论仍成立\begin{align*} & 例题1 \\ & 设f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}(n\in N_+). \\ & 求证: f(1)+f(2)+\cdots+f(n-1)=n[f(n)-1](n\geq2,n\in N_+). \\ & 证明: \\ & (1) 当n=2时，左边=f(1)=1,右边=2[f(2)-1]=2[1+\frac{1}{2}-1]=1,左边=右边，等式成立. \\ & (2) 假设当n=k(k\geq2,k\in N_+)时，等式成立，即f(1)+f(2)+\cdots+f(k-1)=k[f(k)-1]即kf(k)-k. \\ & 则当n=k+1时，\\ & f(1)+f(2)+\cdots+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k) = (k+1)f(k)-k \\ & (k+1)f(k)-k=(k+1)[f(k+1)-\frac{1}{k+1}]-k = (k+1)f(k+1)-(k+1) \\ & \therefore 当n=k=1时结论仍成立 \\ \end{align*}